01/02/2018

Matemática Indiana

Introdução.

O engenhoso método de expressar números usando um conjunto de dez símbolos (cada símbolo com um valor posicional e um valor absoluto) surgiu na Índia. A ideia parece tão simples que o seu significado e sua profunda importância não é mais considerada atualmente. Sua simplicidade está na maneira como facilita o cálculo aritmético situando a aritmética no topo das invenções úteis. A importância desta invenção é mais facilmente entendida quando se percebe que foi além das invenções dos dois grandes matemáticos da Antiguidade, Arquimedes e Apolônio. Laplace

As raízes da matemática indiana encontram-se nas pré-históricas Civilizações do Vale do Indo, possivelmente em Mehrgah que floresceu por volta de 5.000 AC, mais tarde em Mohenjo-Daro e Harappa cerca de 3.000 AC onde o atual sistema decimal posicional de numeração aparece de forma incipiente. 
A partir de 1.200 AC até finais do séc XVIII a matemática indiana recebeu importantes contribuições de notáveis matemáticos como AryabhataBrahmaguptaBhaskara IMahāvīra (matemático)Bhaskara IIMadhava de Sangamagrama e Nilakantha Somayaji que desenvolveram o sistema de numeração decimal e o conceito de número zero (śūnya), o cálculo aritmético com números negativos, a álgebra, a geometria, e a trigonometria

As obras sobre matemática indiana, antigas e medievais, foram compostas em sânscrito, e são usualmente apresentadas com uma seção de sutras onde um conjunto de regras ou problemas são expostos com mínima extensão afim de favorecer a memorização. Em seguida, uma seção em prosa consistindo de comentário (ou múltiplos comentários por diferentes autores) detalhando o problema e justificando a solução.

Todas as obras matemáticas indianas foram transmitidas oralmente até aproximadamente 500 AC. A partir daí foram transmitidas em forma manuscrita mantendo-se a tradição oral. O mais antigo documento sobrevivente sobre matemática produzido na Índia é o Bakhshali, manuscrito em casca de bétula, provavelmente, composto no século VII DC. Foi redescoberto em 1881.

A última grande realização da matemática indiana foi o desenvolvimento das séries trigonométricas (seno, cosseno e arco-tangente) pelos matemáticos da escola de Kerala no séc. XV DC. Entretanto não existem evidências de que esse trabalho tenha influenciado o desenvolvimento do cálculo diferencial e integral por Newton e Leibniz.

Pré-história.

As escavações do Vale do Indo mostram evidências do uso de "matemática prática". Os tijolos encontrados eram manufaturados na proporção 4:2:1 considerada favorável para a estabilidade estrutural. Os povos do Vale do Indo usavam um sistema padronizado de medidas de massa baseadas nas razões: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, e 500, usando uma unidade padrão de massa de aproximadamente 28 gramas semelhante à onça inglesa. O conjunto de medidas de massa era formado por formas geométricas regulares, hexaedros, barris, cones e cilindros evidenciando conhecimentos básicos de geometria.

Também sistematizaram as medidas de comprimento com a régua de Mohenjo-daro - escala de medidas cuja unidade padrão de comprimento (1.32 polegadas ou 3,4 centímetros) que era dividida em 10 partes iguais. Os tijolos produzidos na antiga Mohenjo-daro apresentavam em geral dimensões múltiplas desta unidade de comprimento.

Período Védico (1.750 AC - 500 AC), época da composição dos Vedas  [veja VedangaVedas]

Tradicionalmente, os Vedas são divididos em quatro seções: SamhitasBrahmanasAranyakas e Upanishads. Os Samhitas e os Brahmanas formam o segmento Karma-Kanda dos Vedas que tratam dos ritos cerimoniais e rituais incluindo a matemática, enquanto os Aranyakas e os Upanishads formam o segmento Gyan-Kanda relacionado com filosofia e espiritualidade.  

Os indianos são apaixonados pelos grandes números por estarem intimamente associados ao pensamento religioso. Por exemplo, em textos que compõem a literatura védica encontramos nomes para cada uma das potencias de 10 até um trilhão e mesmo 1062 (ainda hoje em dia, as palavras "lakh" e "crore" que se referem a 100.000 e 10.000.000, respectivamente, continuam em uso por indianos falantes de inglês). Um desses textos o Yajur Veda revela o conceito numérico de infinito (purna, "todo") afirmando que se você extrai purna de purna, ainda permanece purna.

Satapatha Brahmana (séc. VII AC) contém regras para a construção geométrica ritual que são similares ao Sulba Sutras.

Os Śulba Sūtras (literalmente "Aforismos sobre as cordas") em Sânscrito Vedicoeditado provavelmente entre 700 e 400 AC contém regras para a construção de altares sacrificiais. A maior parte dos problemas considerados nos Śulba Sūtras surgem "de um simples requisito religioso" a construção de altares com formas diferentes mas ocupando o mesmo espaço. Os altares devem ser construídos em cinco camadas de tijolos com a condição de que cada camada contenha 200 tijolos e que camadas adjacentes não contenham arranjos congruentes de tijolos. 
Segundo (Hayashi 2005, p. 363), os Śulba Sūtras contém "a mais antiga expressão verbal do Teorema de Pitágoras, também conhecido pelos antigos babilônios". 

Os Sulba sutras inclui uma lista de Triplas pitagóricas que correspondem a casos particulares das Equações diofantinas. Inclui ainda afirmações (que sabemos serem aproximadas) sobre a quadratura do círculo e da "circuição do quadrado."

Baudhayana (Séc VIII AC) compôs o Baudhayana Sulba Sutra, o mais conhecido Sulba Sutra, que contém exemplos das triplas pitagóricas simples tais como (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (9,24,25), e (12,35,37), assim como, o enunciado do teorema de Pitágoras para os lados de um quadrado. "A corda que é esticada em toda a diagonal de um quadrado produz uma área duas vezes o tamanho do quadrado original". Também contém a formulação geral do teorema de Pitágoras (para os lados de um retângulo) "A corda esticada ao longo da diagonal de um retângulo reproduz uma área idêntica à área produzida pelos lados horizontal e vertical juntos.
Baudhayana também forneceu uma formula aproximada para o cálculo da raiz quadrada de dois (√2 = 1 + 1/3 + 1/(3×4) - 1/(3×4×34)= 577/408 =1,41421356)
Esta formula tem a mesma estrutura da formula encontrada em uma antiga tabuleta mesopotâmica do período (1.900 - 1.600 AC) que expressa √2 no sistema sexagesimal e que também é precisa até a quinta casa decimal.

Ao todo, três Sulba sutras foram compostos. Os outros dois sobreviventes, o Manava Sulba Sutra composto por Manava (750 - 650 AC) e o Apastamba Sulba Sutra composto por Apastamba (600 AC) contém resultados similares ao Baudhayana Sulba Sutra.

Período pós-védico

 Entre os autores do período pós-védico que mais contribuíram com a matemática, o mais notável foi Pingala (300 - 200 AC), teórico musical considerado o autor do Chandas Shastra (também Chandaḥsutra), o mais antigo tratado conhecido em sânscrito sobre prosódia. É possível que Pingala neste trabalho sobre a enumeração das combinações silábicas tenha esboçado o "Triângulo de Pascal e os coeficientes binomiais" embora não tivesse conhecimento do teorema binomial. Os trabalhos de Pingala, também, contém as ideias básicas dos números de Fibonacci (chamados maatraameru). Embora o Chandrasutra não tenha sobrevivido de forma completa, um comentário do séc. X de Halāyudha compara o triângulo de Pascal com o Meru-prastāra (literalmente "Escadaria do Monte Meru").
O texto, também, sugere que Pingala conhecia a .identidade combinatória:


É considerado o último matemático védico. Viveu provavelmente no séc. III AC, e escreveu o Katyayana Sulba Sutra com extensos conteúdos de geometria incluindo o teorema de Pitágoras e uma formula para o cálculo da raiz quadrada de dois com precisão de 5 decimais.  .

Matemática Jainista (400 AC - 200 DC)

A grande contribuição dos matemáticos Jainistas consistiu em libertar a matemática Indiana das influências ritualísticas da religião Védica, em especial sua fascinação com a enumeração de grandes números e infinitos. Os números foram, então, classificados em três classes: enumeráveis, não enumeráveis e infinito. Não satisfeitos com com a simples noção de infinito, definiram cinco tipos de infinito, infinito em uma direção, infinito em duas direções, infinito em área, infinito em qualquer lugar, e infinito perpetuamente. Em acréscimo, os matemáticos jainistas introduziram notações para potencias simples (e expoentes) de números como quadrados e cubos, facilitando a representação de equações algébricas simples (beejganita amikaran). Provavelmente, os matemáticos jainistas foram os primeiros a usar a palavra shunya (vazio) em referencia ao zero. (Etimologia do zero)

Além do Surya Prajnapti, outros importantes trabalhos sobre matemática jainista podem ser incluidos, o Vaishali Ganit (séc. III AC); o Sthananga Sutra (300 AC – 200 DC); o Anoyogdwar Sutra (200 AC – 100 DC); e o Satkhandagama (séc. II DC). 

Numerais e o sistema decimal.

Admite-se que o sistema decimal posicional usado atualmente foi primeiramente registado na Índia, e posteriormente transmitido para a Europa através da cultura Islâmica. O bispo sírio Severus Sebokht escreveu na metade do séc. VII DC sobre os "nove signos" dos indianos para a expressão de números. Entretanto, quando, como, e onde o primeiro sistema decimal posicional foi inventado não está ainda bem claro.

O mais antigo script existente é o script Kharoṣṭhī usado na cultura Gandhara do noroeste da Índia. Provavelmente de origem Aramaica, e esteve em uso do séc. IV AC até o séc. IV DC. Outro script, quase contemporâneo, o Brāhmī script foi desenvolvido no subcontinente e se tornou a fonte de muitos scripts do sul e do sudeste da Ásia. Ambos scripts apresentavam símbolos numerais e sistemas numerais não baseados no sistema numeral posicional.  

A mais antiga representação sobrevivente do sistema numeral posicional na Índia e no sudeste da Ásia remonta à metade do primeiro milênio DC. Uma placa de cobre do Gujarat, Índia, menciona a data 595 DC, escrita no sistema decimal posicional, embora haja ainda alguma dúvida sobre a autenticidade da placa. Registros dos anos 683 DC no sistema decimal posicional foram encontrados em inscrições em rochas na Indonésia e no Cambodja onde houve forte influência da cultura indiana.

Existem fontes textuais mais antigas, embora sejam de datas mais recentes as cópias manuscritas desses textos. Provavelmente a mais antiga fonte é o trabalho do filósofo Budista Vasumitra datado aproximadamente no primeiro século DC. Vasumitra relata que os mercadores utilizando um processo de contagem marcam com uma peça de argila na casa decimal das unidades como um, quando a peça se encontra na casa das centenas vale cem. Embora tais referencias pela brevidade e ambiguidade de datas não sustentam a cronologia desse conceito.

Uma terceira representação decimal foi empregada em um texto sobre a técnica de composição, posteriormente chamado de Bhuta-sankhya (literalmente, "enumeração de objetos" usado pelos antigos autores de livros técnicos em Sânscrito. Como muitos dos primeiros livros técnicos em sânscrito foram compostos em verso, era necessário representar os números por objetos do mundo natural e do religioso associados a eles, permitindo uma múltipla correspondência para cada número tornando a composição mais fácil. Segundo Plofker 2009, o número 4 pode ser representado pela palavra "Veda" (pois há quatro desses textos religiosos), o número 32 pela palavra "dente" (as arcadas dentarias são formadas por 32 dentes), e o número 1 por "lua˜ (só há uma lua). Assim, veda/dente/lua corresponde ao número decimal 1324, segundo a convenção de enumerar os dígitos da esquerda para a direita. A mais antiga referência do emprego de objetos como números data de aproximadamente 269 BC no Yavanajātaka ("horoscopia grega") de Sphujidhvaja, uma versificação adaptada de um antigo texto perdido de astronomia grega. Provavelmente pela metade do terceiro milênio DC o sistema decimal já era familiar, pelo menos aos leitores de textos astronômicos e astrológicos na Índia antiga.

Plokfer apresenta hipóteses segundo as quais o sistema numeral posicional era baseado em símbolos usados nos ábacos de contagem chineses por volta da metade do primeiro milênio DC. Estas tábuas de contagem, como o sistema de contagem indiano , ..., tinha uma estrutura posicional decimal ... Os indianos poderiam, possivelmente, ter aprendido essa forma de contagem decimal de peregrinos budistas chineses ou de outros viajantes, ou poderiam ter desenvolvido este conceito independentemente a partir de seu sistema anterior não posicional; nenhuma prova documental sobreviveu para confirmar ou conclusão. [Notação posicional: Wikipedia]

Manuscrito Bakshshali:
O mais antigo texto matemático sobrevivente do Sul Asiático é o Manuscrito Bakhshalicomposto em casca de bétula um "híbrido sânscrito budista" com script Śāradā que era usado na região noroeste do subcontinente indiano entre os séculos VIII e XII DC. O manuscrito foi descoberto em 1881 por um agricultor na escavação de uma rocha no vilarejo de Bakhshali, perto de Peshawar, atualmente Paquistão. De autor desconhecido e agora preservado na Biblioteca Bodleian da Universidade de Oxford, este manuscrito recebeu diversas datações, desde os primeiros séculos da era Cristã até entre os séculos IX e XII DC. Atualmente, século VII é considerado a época mais provável, não obstante seja o "manuscrito atual" cópia de um trabalho matemático provavelmente composto no séc IV AC. 

O manuscrito sobrevivente é composto por sete folhas, algumas das quais em fragmentos. Seu conteúdo matemático consiste de regras e exemplos em versos com comentários em prosa que incluem justificações aos exemplos. Entre os tópicos tratados encontra-se aritmética (frações, raiz quadrada, lucro e perdas, juros simples. regra de três, método da posição falsa (regula falsi) e álgebra (equações lineares simultâneas e equações quadráticas), e progressões aritméticas. Em acréscimo, vários problemas geométricos (incluindo problemas sobre volumes de sólidos irregulares). O manuscrito Bakhshali já empregava o sistema decimal posicional representando o zero com um ponto. Muitos de seus problemas são de uma categoria conhecida por "problemas de equalização" que leva ao sistema de equações lineares.

 Um exemplo do Fragmento III-5-3v é o seguinte "Um comerciante tem sete cavalos 'asava', um segundo comerciante tem nove cavalos 'haya', e um terceiro tem dez camelos. Eles seriam igualmente ricos em suas posses se cada um der dois animais, um para cada um dos outros comerciantes. Encontre o preço de cada animal e o valor total dos animais possuídos por cada comerciante."

O comentário em prosa que acompanha o exemplo resolve o problema montando um sistema de três equações (indeterminadas) com quatro incógnitas supondo que os valores são números inteiros.

Período Clássico (400 - 1600 DC)

Este período é considerado a idade de ouro da matemática indiana. Neste período matemáticos como AryabhataVarahamihiraBrahmaguptaBhaskara IMahaviraBhaskara IIMadhava of Sangamagrama e Nilakantha Somayaji apresentaram uma perspectiva ampla e clara de muitos ramos da matemática. Suas contribuições se espalharam para a Ásia, Oriente Médio, e finalmente para a  Europa. Da mesma forma que os matemáticos védicos, seus trabalhos incluem contribuições de matemática e astronomia. Assim, a matemática deste período foi incluída na 'ciência astral' (jyotiśāstra) sendo constituída por três sub-disciplinas: ciência matemática (gaṇita ou tantra), horoscopia astrológica (horā ou jātaka) e adivinhação (saṃhitā). Esta divisão tripartite aparece na compilação de Varāhamihira -- Pancasiddhantika (literalmente, panca: cinco, siddhānta: conclusão da deliberação, datada em 575 DC) -- dos cinco trabalhos anteriores: Surya SiddhantaRomaka SiddhantaPaulisa SiddhantaVasishtha Siddhanta e Paitamaha Siddhanta, baseados em trabalhos anteriores da Mesopotâmia, Grécia, Egito, e da astronomia indiana. Como explicado anteriormente os textos principais foram compostos em Sânscrito na forma de versos seguidos com comentários em prosa. 

Séculos V e VI

Surya Siddhanta
Embora de autoria desconhecida, o Surya Siddhanta  (provavelmente do século IV DC) contem os fundamentos da moderna trigonometria. Em virtude de conter muitas palavras de origem estrangeira, alguns autores admitem que a obra foi escrita sob influência grega e mesopotâmica.

Este antigo texto utiliza pela primeira vez as seguintes funções trigonométricas:
Seno (Jya), Cosseno (Kojya), Inverso do seno, Arcoseno (Otkram jya).
Também contém os mais antigos usos de: Tangente e Secante

Matemáticos posteriores como Aryabhata fazem referências a este texto, enquanto que as posteriores traduções em Árabe e Latin foram influentes na Europa e no Oriente Médio.

 Calendário Chedi

O calendário Chedi (594 DC) apresenta um dos primeiros usos do moderno sistema de numeração decimal posicional agora usado universalmente (veja também Hindu-Arabic numerals)   

Aryabhata I

Aryabhata  (476 - 550 DC) escreveu o Aryabhatiya que descreve os mais importantes princípios fundamentais da matemática em 332 shlokas. O Tratado contém: Equações quadraticasTrigonometriaO valor de π, com precisão de quatro decimais. Aryabhata também escreveu o Arya Siddhanta, texto atualmente perdido. As contribuições de Aryabhata incluem:

Trigonometria: (Veja também Aryabhata's sine table); Introduziu as Funções trigonometricas; Definição do seno (jya) como uma moderna relação entre a metade de um ângulo e metade da corda; Definição de cosseno (kojya); Definição de verseno (utkrama-jya); Definição do inverso do seno - arco seno (otkram jya); Introdução de métodos para calcular seus valores numéricos por aproximação; Inclui as mais antigas tabelas de seno, cosseno e verseno, em intervalos de 3.75° de 0° to 90°, com precisão de 4 casas decimais; Contem a formula trigonométrica sin(n + 1)x − sin nx = sin nx − sin(n − 1)x− (1/225)sin nx; Spherical trigonometry.

Aritmética: frações contínuas

Álgebra: Soluções de equações quadráticas simultâneasSoluções com números inteiros de equações lineares por método equivalente ao atual; Solução geral de equação linear indeterminada.

Astronomia Matemática: Calculo com precisão de constantes astronômicas como: Eclipse SolarEclipse LunarA formula para a soma de cubos, que foi um passo importante para o desenvolvimento do cálculo integral

Varahamihira
Varahamihira (505–587 DC) produziu o Pancha Siddhanta (Os cinco tratados Astronômicos). Ele fez importantes contribuições para a trigonometria, incluindo tabelas de seno e cosseno a 4 casas decimais de precisão e as seguintes fórmulas relacionadas com as funções seno e cosseno:



Séculos VII e VIII:

No século VII, dois campos separados, a aritmética (que incluía a mensuração) e a álgebra, começaram a surgir na matemática indiana. Os dois campos mais tarde seriam chamados de pāṭī-gaṇita (literalmente "matemática dos algoritmos") e bīja-gaṇita ("matemática das sementes", - como as sementes das plantas - representando incógnitas com potencial para gerar as soluções das equações).
Brahmagupta, em seu trabalho astronômico Brāhma Sphua Siddhānta (628 CE), incluiu dois capítulos (12 e 18) dedicados a esses campos. O capítulo 12, contendo 66 versos em sânscrito, foi dividido em duas seções: "operações básicas" (incluindo raízes do cubo, frações, proporção e proporção e troca de mercadorias) e "matemática prática" (incluindo mistura, séries matemáticas, figuras planas, empilhamento de tijolos, serragem de madeira e estimativa da quantidade de grãos). Na última seção, ele apresentou seu famoso teorema nas diagonais de quadriláteros cíclicos (quadriláteros inscritos em círculos).

Teorema de Brahmagupta: se um quadrilátero cíclico tiver diagonais que sejam perpendiculares um ao outro, então a linha perpendicular tirada do ponto de interseção das diagonais para qualquer lado do quadrilátero sempre corta ao meio o lado oposto.

O capítulo 12 incluiu também uma fórmula para a área de um quadrilátero cíclico (uma generalização da fórmula de Heron), bem como uma descrição completa dos triângulos racionais (ou seja, triângulos com lados racionais e áreas racionais).

Bhaskara I

Bhaskara I (c. 600-680) expandiu o trabalho de Aryabhata em seus livros intitulados Mahabhaskariya, Aryabhatiya-bhashya e Laghu-bhaskariya. 
Ele produziu: Soluções de equações indeterminadas; Uma aproximação racional da função senoidal; Uma fórmula para calcular o seno de um ângulo agudo sem o uso de uma tabela com aproximação de duas casas decimais.

Séculos IX a XII

Virasena

Virasena (século VIII) era matemático Jainista na corte da dinastia Rashtrakuta do Rei Amoghavarsha de Manyakheta em Karnataka. Ele escreveu o Dhavala, um comentário sobre a matemática Jainista, onde desenvolve o conceito de ardhaccheda, o número de vezes que um número pode ser reduzido para metade; Efetivamente logaritmos de base 2, e lista várias regras envolvendo esta operação. Primeiro uso  de logaritmos para base 3 (trakacheda) e base 4 (caturthacheda). Virasena também expôs: A derivação do volume de um tronco de pirâmide por uma espécie de procedimento infinito.
Admite-se que grande parte do material matemático go Dhavala pode ser atribuído a escritores anteriores, especialmente Kundakunda, Shamakunda, Tumbulura, Samantabhadra e Bappadeva produzidos aproximadamente entre 200 e 600 CE. 


Mahavira

Mahavira Acharya  (c. 800-870) de Karnataka, o último dos notáveis matemáticos jainistas, viveu no século 9 e foi patrocinado pelo Rei Amoghavarsha. Ele escreveu um livro intitulado Ganit Saar Sangraha sobre matemática numérica, e também escreveu tratados sobre uma ampla gama de tópicos matemáticos. Estes incluem: Zero; Quadrados; Cubos; Raízes quadradas, raízes de cubos e series numéricas; Geometria plana; Geometria sólida; Problemas relacionados a projeção de sombras; Apresentou fórmulas para calcular a área de uma elipse e quadrilátero inscrito em um círculo.

Mahavira também: Declarou que a raiz quadrada de um número negativo não existia; 
Mostrou a soma de uma série cujos termos são quadrados de uma progressão aritmética, e deu regras empíricas para a área e o perímetro de uma elipse; Resolveu equações de terceiro grau; Resolveu equações de quarto grau. Resolveu algumas equações de quinto grau e polinômios de ordem superior. Apresentou as soluções gerais das equações polinomiais de ordem superior: Resolveu equações quadráticas indeterminadas; Resolveu equações cúbicas indeterminadas; Resolveu equações de ordem superior indeterminadas.

Shridhara

Shridhara(c. 870-930), viveu em Bengala, escreveu os livros intitulados Nav Shatika, Tri Shatika e Pati Ganita. Contribuições: Uma boa regra para encontrar o volume de uma esfera; 
Deduziu a fórmula para a resolução de equações quadráticas: (Esta formula é conhecida no Brasil como Formula de Bhaskara)
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
Multiplique ambos os lados por 4a,
{\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx+4ac=0}
Subitraia 4ac de ambos os lados,
{\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx=-4ac}
Adicione  b^{2} a ambos os lados,
{\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=-4ac+b^{2}}
Como,
{\displaystyle (m+n)^{2}=m^{2}+2mn+n^{2}}
Então, 
{\displaystyle (2ax+b)^{2}=b^{2}-4ac={D}}
Tire as raízes quadradas,
{\displaystyle 2ax+b=\pm {\sqrt {D}}}
{\displaystyle 2ax=-b\pm {\sqrt {D}}}
e divida por  2a,
x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}.
O Pati Ganita é um trabalho de aritmética e mensuração. Trata-se de várias operações, incluindo: Operações elementares; Extração de raízes quadradas e cubicas; Frações; Apresentou oito regras para operações envolvendo zero; Métodos de soma de diferentes séries aritméticas e geométricas, que se tornariam referências padrão em trabalhos posteriores.

Manjula

As equações diferenciais de Aryabhata foram elaboradas no século 10 por Manjula (também Munjala), que percebeu que a expressão -\ \sin w' - \sin w - pode ser aproximadamente expressa por -\ (w' - w)\cos w -
Ele concebeu o conceito de diferenciação depois de resolver a equação diferencial que resultou da substituição dessa expressão na equação diferencial de Aryabhata. 

Aryabhata II

Aryabhata II (c. 920-1000) escreveu um comentário sobre Shridhara, e um tratado astronômico Maha-Siddhanta. O Maha-Siddhanta possui 18 capítulos e discute: Matemática numérica (Ank Ganit); Álgebra; Soluções de equações indeterminadas (kuttaka).

Shripati

Shripati Mishra (1019-1066) escreveu os livros Siddhanta Shekhara, um trabalho importante de astronomia em 19 capítulos, e Ganit Tilaka, um tratamento aritmético incompleto em 125 versos com base em uma obra de Shridhara. Ele trabalhou principalmente em: Permutações e combinações; Solução geral da equação linear indeterminada simultânea.

Ele também foi o autor de Dhikotidakarana, uma obra de vinte versos sobre: Eclipse solar; Eclipse lunar.

A Dhruvamanasa é uma obra de 105 versos sobre: Calculo de longitudes planetárias; Eclipses; Transitos planetários.

Nemichandra Siddhanta Chakravati

Nemichandra Siddhanta Chakravati (c. 1100) escreveu um tratado matemático intitulado Gome-mat Saar.

Bhaskara II

Bhāskara II  (1114-1185). Matemático e astrônomo, escreveu uma série de tratados importantes, nomeadamente o Siddhanta ShiromaniLilavatiBijaganita, Gola Addhaya, Griha Ganitam e Karan Kautoohal. Suas contribuições foram posteriormente transmitidas para o Oriente Médio e a Europa. 

Aritmética: 
Cálculo de juros; Progressões aritméticas e geométricas; Geometria plana; Geometria sólida; A sombra do gnomonSoluções de combinações; Apresentou uma prova para a divisão por zero resultando o infinito.
Álgebra:
O reconhecimento que um número positivo possui duas raízes quadradas; Surds (números irracionais)Operações com várias incógnitas.
As soluções de: Equações quadráticasEquações cúbicas; Equações quárticasEquações com mais de uma incógnita; Equações quadráticas com mais de uma incógnita; A forma geral da equação de Pell usando o método de chakravala; A equação quadrática indeterminada geral usando o método de chakraval; Equações cúbicas indeterminadas; Equações quárticas indeterminadas; Equações polinomiais de ordem superior indeterminada.
Geometria: Prova do teorema de Pitágoras.
Cálculo: 
Concebeu o cálculo diferencial; Descobriu a derivada; Descobriu o coeficiente diferencial; Desenvolveu a Diferenciação; Apresentou Teorema de Rolle, um caso especial do teorema do valor médio (um dos principais teoremas de cálculo e da análise); Derivou o diferencial da função senoidal; calculou π para cinco casas decimais; Calculou o comprimento da revolução da Terra ao redor do Sol com 9 casas decimais.
Trigonometria: Contribuições para trigonometria esférica

Matemática em Kerala (1300-1600)

A escola de astronomia e matemática de Kerala foi uma escola de matemática e astronomia fundada por Madhava of Sangamagrama em Kerala, na Índia, que incluiu entre seus membros: Parameshvara, Neelakanta, Somayaji, Jyeshtadeva, Achyuta, Pisharati, Melpathur Narayana, Bhattathiri e Achyuta Panikkar. A escola floresceu entre os séculos XIV e XVI e as descobertas originais da escola parecem ter terminado com Narayana Bhattathiri (1559-1632). Ao tentar resolver problemas astronômicos, a escola de Kerala criou de forma independente vários conceitos de matemática importantes. Seus mais importantes resultados - a expansão da série para funções trigonométricas - foram descritos em versos sânscritos em um livro de Neelakanta chamado Tantrasangraha, e novamente em um comentário sobre este trabalho, chamado Tantrasangraha-vakhya, de autoria desconhecida. Os teoremas foram apresentados sem prova, mas as provas para a série de seno, cosseno e tangente inversa foram fornecidas um século depois no trabalho Yuktibhasa (c.1500 - 1610), escrito em Malayalam, por Jyesthadeva, e também em um Comentário sobre Tantrasangraha. 

Seu trabalho, realizado dois séculos antes da invenção do cálculo na Europa, forneceu o que agora é considerado o primeiro exemplo de uma séries de potencias (além das séries geométricas). No entanto, eles não formularam uma teoria sistemática de diferenciação e integração, nem há evidência direta que seus resultados foram transmitidos para fora de Kerala.

Indian Mathematics: Redressing the balance: Ian G Pearce

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